Question

新定义：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，则称点(x₀,x₀)为抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为：y=ax²+(b+1)x+(b -1)(a≠0).
（1）抛物线C过点(0，-3)；如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C的解析式及其上的不动点；
（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？                                           
（3）设a为整数，且满足a+b+1=0，若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x₁, x₂，是否存在整数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=x²-x-3，（-1，-1）和(3，3)；（2）0＜a＜1；（3）-1或-2.

试题分析：（1）根据抛物线C过点(0，-3)，把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上，即可得到关于a、b的方程组，从而求得结果；
（2）由抛物线C有两个不同点可得△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0，再结合b为任意实数，且使得上式成立，可得(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，即可求得结果；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入抛物线C得y=ax²-ax-(a+2)，根据x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标可得△=a²+4a(a+2)＞0，即可求得字母a的范围，再结合根与系数的关系求解即可.
（1）由题意得，解之得 
∴抛物线为y=x²-x-3
令x=x²-x-3，解之得x₁=-1，x₂=3  
∴不动点为（-1，-1）和(3，3)；
（2）∵抛物线C有两个不同的不动点，
∴x=ax²+(b+1)x+(b-1)，整理得ax²+bx+(b-1)=0
∵抛物线C有两个不同点， 
∴△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0
∵b为任意实数，且使得上式成立，
∴(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，
从而得或，解之得0＜a＜1   
∴实数a应在0＜a＜1；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入抛物线C得y=ax²-ax-(a+2)
∵x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标  
∴△=a²+4a(a+2)＞0，解得a＞0或a＜
由根与系数的关系，得，x₁+x₂="1," x₁·x₂= ,
∴k=3+=3+=( a＞0或a＜,且a为整数)
要使k为整数，取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合题意，舍去；
∴存在, .
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．