Question

如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．动点P从点A开始在线段AB上沿A→B→A的路径以每秒2.5cm的速度运动，同时动点Q从点B开始在线段BC上以每秒1cm的速度向点C运动，设点P，Q运动的时间为t秒（0＜t＜8）．
（1）求证：∠C=90°；
（2）求当BQ的长为何值时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,勾股定理的逆定理

专题：动点型

分析：（1）根据BC²+AC²=8²+6²=100=10²=AB²，得出△ABC是直角三角形进而得出答案；
（2）分别根据当0＜t≤4时，①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC；
当4＜t＜8时，③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，分别求出即可．

解答：（1）证明：在△ABC中，
∵BC²+AC²=8²+6²=100=10²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；

（2）解：（ⅰ）当0＜t≤4时，BP=（10-2.5t） cm，BQ=t cm．
①如图1，当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴

BQ

BC

=

BP

AB

．
∴

t

8

=

10-2.5t

10

．
∴解得：t=

8

3

． 
②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴

BQ

AB

=

BP

BC

．
∴

t

10

=

10-2.5t

8

．
∴解得：t=

100

33

，即BQ=

100

33

． 
（ⅱ）当4＜t＜8时，BP=（2.5t-10）cm，BQ=t cm．
③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴

BQ

AB

=

BP

BC

．
∴

t

10

=

2.5t-10

8

．
∴解得：t=

100

17

，即BQ=

100

17

．
④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴

BQ

BC

=

BP

AB

．
∴

t

8

=

2.5t-10

10

．解得t=8，即BQ=8．
此时，不符合题意舍去．
综上，所求BQ的长为

8

3

，

100

33

，

100

17

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的应用，根据已知得出P，Q不同位置进而得出相似三角形是解题关键．