Question

如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F,EF交CD于点G,求证：BE=CG．

Answer 1

详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考察三角形全等的判定．由图可知要说明BE=CG，可通过△BFE≌△GFC来说明．而△BFE≌△GFC需要对应边和对应角，可由垂直、角平分线、辅助线来得到需要的条件.

试题解析：

过点A作AP⊥BC于点P, ∠APB=90°

∵AB=AC, ∴∠BAP=∠PAC ∵CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°

∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90° ∴∠BAP=∠PAC=∠BCD

∵CE平分∠DCA ∴∠ACE=∠ECD

∵∠APC+PCA+∠PAC=180° ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=180°

∴2(∠BCD+∠ECD) =90°∴∠BCE=45°

∵EF⊥BC, ∴∠EFC=90°

∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°∴∠FEC=∠ECF ∴ EF=FC

∵EF⊥BC, ∠EFC=∠APC=90°∴EF∥AP ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD

∵EF⊥BC ∴∠BFE=∠EFC=90° ∴△BFE≌△GFC ∴BE=CG

考点：（1）三角形全等的条件；（2）全等三角形的性质：（3）等角对等边.