Question

16．如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长为1，点O、M、N、A、B、C都是小正方形的顶点．
（1）记向量$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow b$，试在该网格中作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$．计算：$|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{2}$；
（2）联结AD，求证：△ABC∽△DAB；
（3）填空：∠ABD=135度；联结CD，比较∠BDC与∠ACB的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形法则作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$，小正方形的两条对角线的长度即为所求；
（2）由图可知△ABC和△DAB各边的长，根据三角形三边对应成比例证明相似；
（3）由图可知∠ABD=90°+45°=135°，借助于相似三角形（△ABD∽△CBA）的性质来计算．

解答 （1）解：作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$，
$|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$；

（2）证明：∵$\frac{BC}{AB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{AB}{BD}=\frac{2}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{AC}{AD}=\frac{{\sqrt{10}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△DAB；

（3）解：由图可知∠ABD=90°+45°=135°，
故答案为：135°；
∵AC=CD=$\sqrt{10}$，
∴∠CAD=∠CDA，
又△ABD∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB，
∴∠CAD-∠CAB=∠CDA-∠ADB，
即∠BAD=∠BDC，
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠BDC=∠ACB．

点评 本题主要考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，根据正方形网格中每个小正方形的边长为1，算出各线段的长度是解答此题的关键．