Question

7．在数学里，我们规定：a^-n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（a≠0）．无论从仿照同底数幂的除法公式来分析，还是仿照分式的约分来分析，这种规定都是合理的．正是有了这种规定，指数的范围由非负数扩大到全体整数，概念的扩充与完善使我们解决问题的路更宽了．例如a²•a^-3=a^2+（-3）=a^-1=$\frac{1}{a}$．数的发展经历了漫长的过程，其实人们早就发现了非实数的数．
人们规定：i²=1，这里数i类似于实数单位1，它的运算法则与实数运算法则完全类似：2i+$\frac{1}{3}$i=$\frac{7}{3}$i（注意：由于非实数与实数单位不同，因此像2+i之类的运算便无法继续进行，2+i就是一个非实数的数），6×0.5i； 2i×3i=6i²=-6；（3i）²=9i²=9；-4的平方根为±2i；如果x²=-7，那么x=±$\sqrt{7}$i．…数的不断发展进一步证实，这种规定是合理的．
利用上述所学知识解决下面的两个问题：
（1）解方程：x²+5=0；
（2）试用配方法求一元二次方程x²+x+1=0的非实数解．

Answer 1

分析 （1）移项得x²=-5，根据阅读材料求出x=±$\sqrt{5}$i；
（2）先将原式配方后变为（x+$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，再将x+$\frac{1}{2}$当作一个整体按照条件中的方法就可以求出其值．

解答 解：（1）x²+5=0，
x²=-5，
x=±$\sqrt{5}$i，
x₁=$\sqrt{5}$i，x₂=-$\sqrt{5}$i；

（2）原方程变形为：（x+$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，
∴x+$\frac{1}{2}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．

点评 本题考查了一元二次方程的运用以及解法，在解答中要求学生具有较强的阅读能力和分析能力，解决现实生活中的实际问题．