Question

19．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式； 
（2）当-3≤x≤0时y的取值范围是0≤y≤4；
（3）根据图象可知：当一次函数值小于等于二次函数值时，x的取值范围是-2≤x≤0．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，得到二次函数的最大值，然后观察函数图象，写出-3≤x≤0时y的取值范围；
（3）先利用抛物线的对称性确定D点坐标，然后写出一次函数图象不在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1．
所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
所以x=-1时，y有最大值4，
所以当-3≤x≤0时y的取值范围是0≤y≤4；
（3）因为点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
所以D（-2，3），
当-2＜x＜0时，一次函数值小于等于二次函数值．
故答案为0≤y≤4；-2≤x≤0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．