Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连结CD．
（1）求证：DB=DE；
（2）若BD=1，求AC的长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）先根据直角三角形的性质求出∠ACB的度数，再由线段垂直平分线的性质得出CD=AD，根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）先根据（1）中的结论求出DE的长，再由锐角三角函数的性质求出AE的长，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ACB=60°．
∵DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴BD=DE；

（2）∵由（1）知BD=DE，
∴BD=DE=1，
∵∠A=30°，
∴AE=

DE

tan30°

=

1

3 3

=

3

．
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC=2AE=2

3

．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，用到的知识点为：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．