如图1.直线AB交x轴正半轴于点A(a.0).交y轴正半轴于点B(0.b).且a.b满足$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．(1)求A.B两点的坐标,(2)C为OA的中点.作点C关于y轴的对称点D.以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE.过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分.求k的值,(3)如图2.P为x轴上A点右侧任意一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图1，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）C为OA的中点，作点C关于y轴的对称点D，以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，求k的值；
（3）如图2，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

分析（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论；
（2）先判断出△DEF≌△BDO，得出EF，OF，即可求出四边形OBEF的面积为18，再分两种情况讨论计算即可．
（3）先判断出△PBO≌△MPN，进而判断出△BAQ是等腰直角三角形．即可得出OQ=4即可得出结论．

解答解：（1）∵$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．
∴a-4=0，4-b=0，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4）；
∴OB=4，
∵C为OA的中点，
∴OC=2，
∴C（2，0），
∵点C关于y轴的对称点D，
∴D（-2，0），
∴OD=2；
∵BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，
①如图，当BD=BE，∠DBE=90°时，过点E作EH⊥OB于H，
∴∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠HBE=90°，
∵∠DBE=90°，
∴∠HBE+∠OBD=90°，
∴∠BEH=∠OBD，
在△OBD和△HEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠EHB=90°}\\{∠OBD=∠BEH}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△HEB，
∴BH=OD，EH=OB，
∵D（-2，0），B（0，4），
∴OB=4，OD=2，
∴BH=2，EH=4，
∴OH=OB+BH=6，∴E（-4，6），
∴EF=OH=6，OF=EH=4，
∴S_{四边形OBEF}=$\frac{1}{2}$（OB+EF）×OF=20，
∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，
∴S_{四边形OBGF}=$\frac{1}{2}$S_{四边形OBEF}=10，
∴S_{四边形OBGF}=$\frac{1}{2}$（FG+OB）×OF=$\frac{1}{2}$×（FG+4）×4=2（FG+4）=10，
∴FG=1，∴G（-4，1）
将G（-4，1）代入直线y=kx-4k，得，1=-4k-4k，
∴k=-$\frac{1}{8}$．
②如图1，当DE=BD，∠BDE=90°时，
∴∠EDF+∠BDO=90°，
∵EF⊥x轴于点F．
∴∠EDF+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠BDO，
在△DEF和△BDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠BOD=90°}\\{∠DEF=∠BDO}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BDO，
∴EF=OD=2，DF=OB=4，
∴OF=6，
∴F（-6，2），
∴S_{四边形OBEF}=$\frac{1}{2}$（EF+OB）•OF=$\frac{1}{2}$×（2+4）×6=18，
∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，
∴直线y=kx-4k分成的两部分的面积为9，
∵直线y=kx-4k恒过A（4，0），
∴Ⅰ、当直线y=kx-4k和线段EF相交，
∴S_{四边形OHGF}=9，
∵H（0，-4k），
∴OH=-4k，
∵G点的横坐标为-6，
∴G（-6，-10k），
∴FG=-10k，
∴S_{四边形OHGF}=$\frac{1}{2}$（-4k-10k）×6=9，
∴k=-$\frac{3}{14}$，
Ⅱ、当直线y=kx-4k①和线段EB相交，
∴S_△MBN=9，
∵N（0，-4k），
∴BN=4（k+1），
∵B（0，4），E（-6，2），
∴直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+4②，
联立①②得，点M的横坐标为$\frac{12（k+1）}{3k-1}$，
∴S_△MBN=$\frac{1}{2}$×4（k+1）×$\frac{12（k+1）}{1-3k}$=9，
∴k=$\frac{-25-5\sqrt{15}}{16}$（舍）或k=$\frac{-25+5\sqrt{15}}{16}$．
即：满足条件的k的值为-$\frac{1}{8}$或-$\frac{3}{14}$或$\frac{-25+5\sqrt{15}}{16}$．

（3）如图2，

过M作MN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，
∴△PBO≌△MPN，
∴MN=OP，PN=AO=BO，
∴OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动，OQ的长不变．

点评此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是求出k的值．

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