练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    12．已知抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点M，直线y=$\frac{1}{2}$x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．

    （1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（1，a-2），N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
    （2）如图1，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
    （3）在抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

    分析 （1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-2x+a．直线AM和y=$\frac{1}{2}$x-a联立方程组即可求出N的坐标为（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
    （2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．也就能确定N，C的坐标．求四边形ADCN的面积，可分成△ANC和△ADC两部分来求．已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离．也就能求出△ANC和△ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积．
    （3）分两种情况进行讨论：
    ①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．
    ②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可

    解答 解：（1）∵抛物线y=2x2-4x+a=2（x-1）2+a-2，
    ∴M（1，a-2），A（0，a），
    ∴直线AM的解析式为y=-2x+a①，
    ∵直线y=$\frac{1}{2}$x-a②与直线AM相交于点N．
    联立①②得，N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
    故答案为：1，a-2；$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a；

    （2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
    ∴N′（-$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
    将N′的坐标代入y=2x2-4x+a得：
    -$\frac{3}{5}$a=2×$\frac{16}{25}$a2-4×（-$\frac{4}{5}$a）+a，
    ∴a1=0（不合题意，舍去），a2=-$\frac{15}{4}$．
    ∴N（-3，$\frac{9}{4}$），
    ∴点N到y轴的距离为3．
    ∵A（0，-$\frac{15}{4}$），N'（3，$\frac{9}{4}$），
    ∴直线AN'的解析式为y=2x-$\frac{15}{4}$，它与x轴的交点为D（$\frac{15}{8}$，0）
    ∴点D到y轴的距离为$\frac{15}{8}$．
    ∴S四边形ADCN=S△ACN+S△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×$\frac{15}{8}$=$\frac{585}{32}$；

    （3）存在，理由如下：
    如图，

    ①当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN$\stackrel{∥}{=}$AC，
    ∵AC=-2a，
    ∴把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{13}{5}$a），代入抛物线的解析式y=2x2-4x+a，
    得：-$\frac{13}{5}$a=$\frac{32}{25}$a2-$\frac{16}{5}$a+a，
    解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=-$\frac{5}{16}$，
    则P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）；
    ②当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
    则OA=OC，OP=ON．
    则P与N关于原点对称，
    则P（-$\frac{4}{5}$a，$\frac{3}{5}$a）；
    将P点坐标代入抛物线解析式y=2x2-4x+a，
    得：$\frac{3}{5}$a=$\frac{32}{25}$a2+$\frac{16}{5}$a+a，
    解得a1=0（不合题意，舍去），a2=-$\frac{45}{16}$，
    则P（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
    故存在这样的点P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
    （1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
    （2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．（1）如图（1），BD平分∠ABC，DE∥BC，且AE=BE，求证：AB=BC；
    （2）如图（2），∠1=∠2，∠3=∠4，EF过点O，且EF∥BC，求证：EF=BE+CF；
    （3）如图（3），∠1=∠2，∠3=∠4，EF过点O，且EF∥BC，求证：EF=BE-CF．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．在坐标系中，A、B两点坐标分别为（-4，0）、（0，2），以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
    ①求边AB的长； 
    ②求点C的坐标；
    ③你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请画出M点，并直接写出△MDB周长的最小值；如果不能，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．阅读下列材料，解决后面两个问题：
    我们可以将任意三位数$\overline{abc}$（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然$\overline{abc}$=100a+10b+c；我们形如$\overline{xyz}$和$\overline{zyx}$的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．
    （1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和；
    （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．如图1，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．
    （1）求A、B两点的坐标；
    （2）C为OA的中点，作点C关于y轴的对称点D，以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，求k的值；
    （3）如图2，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=1：3，DE=4，则BC=（　　）
    A．10B．12C．15D．16

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点C（2，n），过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
    （1）求k的值；
    （2）将线段OD绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为β（0°＜β＜90°）
    ①若直线OE与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，设线段OM的长为m，当β=60°时，求m2的值；
    ②连接EA、EB，当EA+$\frac{2}{3}$EB最小时，请写出求cosβ值的解题思路，可以不写出计算结果．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案