Question

14．如图，AB是圆O直径，PB、PC分别与圆O相切于B、C，连接PO交圆O于D、E，CE与AD相交于F．
（1）猜想△DEF的形状，并证明；
（2）若圆O的半径为3，PB=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）△DEF是等腰三角形．只要证明AC∥DE，可得∠CAD=∠ADE，因为∠CAD=∠CED，即可推出∠FED=∠FDE，由此即可解决问题．
（2）如图2中，连接OF、BD，作BN⊥OP于N．通过解直角三角形分别求出BN、ON、DN、BD、AD，再求出cos∠A，即可根据cos∠E=cos∠A=$\frac{EO}{EF}$解决问题．

解答 解：（1）结论：△DEF是等腰三角形．理由如下：
如图1中，连接AC、BC、OC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵PB、PC是切线，
∴PB=PC，∵OC=OB，
∴OP垂直平分BC，
∴OP∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∵∠CAD=∠CED，
∴∠FED=∠FDE，
∴FD=FE．

（2）如图2中，连接OF、BD，作BN⊥OP于N．

∵PB是切线，
∴∠OBP=90°，
在Rt△OBP中，∵OB=3，PB=4，
∴OP=$\sqrt{O{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•OB•PB=$\frac{1}{2}$•OP•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OBN中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴DN=OD-ON=$\frac{6}{5}$，BD=$\sqrt{B{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴cosA=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠A=∠E，FE=FD，OE=OD，
∴FO⊥ED，
∴cos∠E=$\frac{EO}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理、直径的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破口是求出cos∠A的值，属于中考常考题型．