Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B、C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，求D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）易求得抛物线与x轴交点，可得OA，OB的长度，即可求得AC、BC的长度，即可解题；
（2）易求得直线BC的解析式和抛物线对称轴，即可解题．

解答 解：（1）当y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=0时，
解得：x=-$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3$\sqrt{3}$，AB=4$\sqrt{3}$，
∵x=0时，y=3，
∴AC=$\sqrt{{{OC}^{2}+OA}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{{OC}^{2}+OB}^{2}}$=6，
∵AC²+BC²=9+27=36，AB²=36，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵点B坐标（$3\sqrt{3}$，0）、点C坐标（0，3），
设直线BC解析式为y=kx+b，代入B、C点坐标得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3\sqrt{3}k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=3，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∵抛物线对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\sqrt{3}$，
∴点D纵坐标为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+3=2，
∴点D坐标为（$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查了代入法求直线解析式的方法，考查了抛物线对称轴的计算，本题中求得直线BC解析式是解题的关键．