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【题目】如图1,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DGBE

1)发现:当正方形AEFG绕点A旋转,如图2,①线段DGBE之间的数量关系是   ;②直线DG与直线BE之间的位置关系是   

2)探究:如图3,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD2ABAG2AE,证明:直线DGBE

3)应用:在(2)情况下,连结GE(点EAB上方),若GEAB,且ABAE1,则线段DG是多少?(直接写出结论)

【答案】(1)BEDGBEDG;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)先判断出ABE≌△ADG,进而得出BE=DG,∠ABE=ADG,再利用等角的余角相等即可得出结论;

2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出ABE∽△ADG,得出∠ABE=ADG,再利用等角的余角相等即可得出结论;

3)先求出BE,进而得出BE=AB,即可得出四边形ABEG是平行四边形,进而得出∠AEB=90°,求出BE,借助(2)得出的相似,即可得出结论.

1)①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,

AE=AGAB=AD,∠BAD=EAG=90°

∴∠BAE=DAG

ABEADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

BE=DG

②如图2,延长BEADG,交DGH

由①知,ABE≌△ADG

∴∠ABE=ADG

∵∠AGB+ABE=90°

∴∠AGB+ADG=90°

∵∠AGB=DGH

∴∠DGH+ADG=90°

∴∠DHB=90°

BEDG

2)∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,

∴∠BAD=DAG

∴∠BAE=DAG

AD=2ABAG=2AE

∴△ABE∽△ADG

∴∠ABE=ADG

∵∠AGB+ABE=90°

∴∠AGB+ADG=90°

∵∠AGB=DGH

∴∠DGH+ADG=90°

∴∠DHB=90°

BEDG

3)如图4,(为了说明点BEF在同一条线上,特意画的图形)

EGAB

∴∠DME=DAB=90°

RtAEG中,AE=1

AG=2AE=2

根据勾股定理得,EG=

AB=

EG=AB

EGAB

∴四边形ABEG是平行四边形,

AGBE

AGEF

∴点BEF在同一条直线上如图5

∴∠AEB=90°

RtABE中,根据勾股定理得,BE==2

由(3)知,ABE∽△ADG

DG=4

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