Question

5．如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，点G在BC边上，且∠1=∠2．
（1）若AD=4，求BG的长；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2．求证：CD=BF+DF．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质，得到AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，证明△AEB≌△CDG，得到AE=CG，利用G为BC中点，即可解答；
（2）作辅助线，延长DF，BE，相交于点H，证明四边形EBDG为平行四边形，得到BE∥DG，得到∠G=∠2，因为∠3=∠2，得到∠G=∠3，利用等角对等边，得到GF=BF，再证△AEB≌△EDG，得到AB=EG，即可解答．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDG，
∴AE=CG，
∵G为BC中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴E是AD的中点，
∴DE=BG=$\frac{1}{2}$AD=2，
（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，
∵E为AD的中点，G为BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，BG=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=HF，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠H}\\{∠AEB=∠DEG}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，
∵AB=CD，
∴CD=DH，
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，
∴CD=BF+FD．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，解决本题的关键是利用全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，再利用等量代换即可解答．