Question

已知二次函数y=-x²+mx+n，当x=3时，有最大值4．
（1）求m、n的值．
（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x轴的取值范围；
（4）有一圆经过点A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点的坐标．

Answer 1

解：（1）可得二次函数解析式为：
y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5，
所以可得：m=6，n=-5；

（2）当y=0时有：-x²+6x-5=0，
（x-5）（x-1）=0，
解得：x=1或x=5，
所以可得A、B两点的坐标为：（1，0），（5，0）；

（3）∵y=-x²+6x-5，
∴开口向下，
∵与x轴的交于点：（1，0），（5，0），
∴当y＜0时，x＜1或x＞5；

（4）设点C的坐标为（0，b） 且b＞0 则有：圆心O坐标为（r，b），
因圆与y轴相切，所以r为圆半径．
又圆经过A，B两点，则过圆心作直线垂直于A，B，垂线必交于AB的中点，即（3，0），
所以可得：r=3，
因此可得圆的方程为：（x-3）²+（y-b）²=3²，
将（1，0）代入方程得：4+b²=9，
解得：b=或 b=-（舍去）．
所以点C的坐标为：（0，）
分析：（1）由已知条件可设二次函数的顶点式为y=-（x-3）²+4，展开后比较即可求出m、n的值；
（2）解方程x²+6x-5=0，即可求出这个二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
（3）根据二次函数y=-x²+6x-5的开口方向及与x轴的交点坐标，即可得出y＜0时，x的取值范围；
（4）设点C的坐标为（0，b）且b＞0，则圆心的坐标为（r，b），由切线的性质得出r为圆的半径，根据垂径定理得出r=3，进而得到圆的方程为：（x-3）²+（y-b）²=3²，然后将（1，0）代入方程得：4+b²=9，解方程即可求出b的值．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，垂径定理，圆的方程，综合性较强，有一定难度．