Question

4．如图，在正方形ABCD中，E在BC上，P在BD上，已知PA=PE，求证：PA⊥PE．

Answer 1

分析 作PQ⊥AB于Q，作PK⊥BC于K，则四边形BQPK是矩形，得出∠QPK=90°，由正方形的性质得出BD平分∠ABC，得出PQ=PK，由HL证明Rt△APQ≌Rt△EPK，得出∠APQ=∠EPK，由角的互余关系证出∠APE=90°，即可得出结论．

解答 证明：作PQ⊥AB于Q，作PK⊥BC于K，如图所示：

则四边形BQPK是矩形，
∴∠QPK=90°，即∠QPE+∠EPK=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴PQ=PK，
在Rt△APQ和Rt△EPK中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{PQ=PK}\end{array}\right.$，
∴Rt△APQ≌Rt△EPK（HL），
∴∠APQ=∠EPK，
∴∠APQ+∠QPE=90°，
即∠APE=90°，
∴AP⊥PE

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．