【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值.
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角(锐角),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)4,3;(2)3,.(3)、、或.
【解析】
试题分析:(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;
(2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;
(3)在旋转过程中,等腰△DPQ有4种情形,如答图3所示,对于各种情形分别进行计算.
试题解析:(1)在Rt△ABD中,AB=5,AD=,
由勾股定理得:BD=.
∵S△ABD=BDAE=ABAD,
∴AE=.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理得:BE=3.
(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如图2所示:
由对称点性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①当点F′落在AB上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②当点F′落在AD上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
又易知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D为等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
∴BB′=BD-B′D=,即m=.
(3)存在.理由如下:
在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:
①如答图3-1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,易知∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=.
∴DQ=BQ-BD=;
②如图3-2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,易知∠2=∠P,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,则此时点A′落在BC边上.
∵∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′-A′Q=4-BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2,
即:32+(4-BQ)2=BQ2,
解得:BQ=,
∴DQ=BD-BQ=;
③如图3-3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,易知∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
∴∠4=90°-∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠4=90°-∠1.
∴∠A′QB=∠4=90°-∠1,
∴∠A′BQ=180°-∠A′QB-∠1=90°-∠1,
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=,
∴DQ=BD-BQ=;
④如图3-4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,易知∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
∴DQ=BD-BQ=.
综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使△DPQ为等腰三角形;
DQ的长度分别为、、或.
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A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
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根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)福州市常住人口数,2015年比2014年增加了 万人;
(2)与上一年相比,福州市常住人口数增加最多的年份是 年;
(3)预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人?请用所学的统计知识说明理由.
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A. 两数相等 B. 两数互为相反数 C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数
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A. -a不一定是负数 B. |a|是一个正数
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A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016
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