Question

（1）猜想：5×6×7×8+1=1681=41²=（

 

+

 

）²
m（n+1）（n+2）（n+3）+1=

 

．
（2）证明：四个连续的正整数的乘积加上1是一个完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：（1）观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），所以可得出5×6×7×8+1=（5²+3×5+1）²=41²；
（2）根据（1）得出的规律可得出结论．

解答：（1）解：∵1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；
2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；
3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，
4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，
得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），
∴5×6×7×8+1=41²=（5²+3×5+1）²．
故答案为：40、1、（n²+3n+1）²．

（2）证明：n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．

点评：此题考查了完全平方数的知识，解答本题的关键是发现规律为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，难度较大．