Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上且BM=CN．
（1）AB=AC，试判断△AMN的形状，并说明理由．
（2）若AM=AN，则∠ABC=∠ACB成立吗？为什么？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据等腰三角形的性质可以得出∠ABC=∠ACB，再由平角的性质可以得出∠ABM=∠ACN，就可以得出△AMB≌△ANC，就可以得出结论．
根据等腰三角形的性质可以得出∠M=∠N，就可以得出△AMB≌△ANC，就可以得出AB=AC，根据等边对等角即可得出∠ABC=∠ACB．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABC+∠ABM=180°，∠ACB+∠ACN=180°，
∴∠ABM=∠ACN．
在△AMB和△ANC中，

AB=AC ∠ABM=∠ACN BM=CN

，
∴△AMB≌△ANC（ASA），
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形．
（2）成立；
证明：∵AM=AN，
∴∠M=∠N．
在△AMB和△ANC中，

AM=AN ∠M=∠N BM=CN

，
∴△AMB≌△ANC（ASA），
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，平角的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．