Question

10．已知a-$\frac{1}{a}$=1
（1）分别求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$和a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值
（2）若$\frac{{a}^{4}+{ma}^{2}+1}{{3a}^{4}+{ma}^{2}+3}$=7，求m的值
（3）求a¹²+48a^-4的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值，再两边平方求出a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值即可；
（2）已知等式变形后，两边除以a²，将（1）结果代入即可求出m的值；
（3）原式利用负指数幂法则变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）把a-$\frac{1}{a}$=1两边平方得：（a-$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2=1，即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3；
把a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3两边平方得：（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²=a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$+2=9，即a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=7；
（2）已知等式整理得：a⁴+ma²+1=21a⁴+7ma²+21，即10a⁴+3ma²+10=0，
两边除以a²得：10（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-3m=30，
解得：m=-10；
（3）原式=a¹²+$\frac{48}{{a}^{4}}$=a⁴a⁸+$\frac{48}{{a}^{4}}$=（7-$\frac{1}{{a}^{4}}$）a⁸+$\frac{48}{{a}^{4}}$=7a⁸-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=7a⁴（7-$\frac{1}{{a}^{4}}$）-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=49a⁴-7-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=48a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$-7=47×7=329．

点评 本题主要考查了分式的化简求值的知识，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的多次应用，特别是（3）问需要对a¹²进行拆分，此题难度不大．