Question

8．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠DAC，点E是AC上一点，且AE=AD
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=6，cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明DA=DC，推出四边形ABCD是菱形即可解决问题．
（2）在Rt△OAB中，求出OA即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．

（2）解：在Rt△AOB中，
∵cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{3}$，AB=6，
∴OA=4，
∵AE=AD=AB=6，
∴OE=AE-OA=6-4=2．

点评 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．