Question

13．已知抛物线C：y=4x²
（1）过点A的直线l：y=kx+3交y轴于B，交抛物线C于M、N两点．若BN=2BM，求直线l的解析式
（2）如图2，若点A是y轴正半轴上一点，抛物线C上任意一点到A的距离等于这一点到直线y=a（a＜0）的距离，求点A的坐标及a的值
（3）如图3，将抛物线C平移到抛物线C₁：y=4x²-8x，以O为直角顶点的Rt△OPQ的顶点都在抛物线C₁上，且点P、Q都在x轴的上方，求证：直线PQ过一定点，并求这个定点的坐标

Answer 1

分析 （1）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由条件可得到|x₂|=2|x₁|，联立直线和抛物线解析式可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合条件可得到关于k的方程，可求得k的值；
（2）设任意一点为D，当D为原点时容易求得A点坐标及a的值，当D不是原点时，可设其坐标，从而可表示出D点到y=a的距离，可得到关于a的方程，可求得a的值和A点坐标；
（3）设直线PQ解析式为y=kx+b，分别设出P、Q两点的坐标，联立直线PQ及抛物线解析式可得到方程组，整理可得到一元二次方程，利用根与系数的关系结合勾股定理可得到k和b的关系，整理可求得答案．

解答 解：
（1）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∵BN=2BM，
∴|x₂|=2|x₁|，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=4{x}^{2}}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，整理得4x²-kx-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{k}{4}$，x₁x₂=$-\frac{3}{4}$，
当x₂=2x₁时，解得k²=-54，不符合题意，
当x₂+2x₁=0时，解得k=$±\sqrt{6}$，
∴直线l的解析式为y=$\sqrt{6}$x+3或y=-$\sqrt{6}$x+3；
（2）设D点为抛物线上的任意一点，
∵抛物线C上任意一点到A的距离等于这一点到直线y=a（a＜0）的距离，
∴当点D在原点时，A点的坐标必须为（0，-a），
当点D为任意点时，设D（x，4x²），
x²+（4x²+a）²=（4x²-a）²，解得a=-$\frac{1}{16}$，
∴A（0，$\frac{1}{16}$）；
（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，且P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∵∠POQ=90°，
∴OP²+OQ²=PQ²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
整理得：x₁x₂+y₁y₂=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ y=4{x^2}-8x\end{array}\right.$，得4x²-（8+k）x-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8+k}{4}$，x₁x₂=$-\frac{b}{4}$，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=2kb+b²，
∴x₁x₂+y₁y₂═-$\frac{b}{4}$+2kb+b²=0，b=$\frac{1}{4}$-2k
∴直线PQ的解析式为y=kx+$\frac{1}{4}$-2k=k（x-2）+$\frac{1}{4}$，
∴恒过定点（2，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题为二次函数综合应用，涉及函数图象交点问题、待定系数法、一元二次方程根与系数的关系及勾股定理等知识点．在（1）中利用根与系数的关系得到关于k的方程是解题的关键，在（2）中表示出A点坐标，利用条件得到关于a的方程是解题的关键，在（3）中利用根与系数的关系得到b、k的关系式是解题的关键．本题考查知识点较多，特别是计算量较大，难度较大．