Question

12．在平面直角坐标系中，点A（4，-2），B（0，2），C（a，-a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作B关于直线y=-x的对称点B′，连接B′A交直线y=-x于C，则△ABC的周长最小，求得直线AB′的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论．

解答 解：作B关于直线y=-x的对称点B′，
连接B′A交直线y=-x于C，
则△ABC的周长最小，
∵B（0，2），
∴B′（-2，0），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-2=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴C（1，-1），
∴a=1．
故选C．

点评 本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，利用轴对称的性质分别求出A′、B′两点的坐标是解答此题的关键．