Question

10．已知：C是AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，以BC为边向AD所在的一侧作等边△BCE，AE、CD相交于F，BD、CE相交于G．求证：CF=CG．

Answer 1

分析 先根据SAS即可证明△ACE≌△BCD；再证明△DCG≌△ACF，从而得出CG=CF．

解答 解：∵△DAC是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACD=60°，
∵△BCE为等边三角形，
∴CE=CB，∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCG=60°
∴∠ACD=∠DCG，
在△ACF和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CDG}\\{AC=DC}\\{∠ACD=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCG（SAS），
∴CG=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明三角形全等．