Question

20．已知直线y₁=ax+1和y₂=-2ax+4都经过点a（-1，m），y₂和x轴交于点B，p是y₁上一点，已知S_△ABP=6，求点P的坐标．

Answer 1

分析 根据两直线相交的问题，把（-1，m）分别代入y₁=ax+1和y₂=-2ax+4可解得a=-1，m=-2，则A（-1，-2），再确定直线y₁与x轴的交点C（1，0），直线y₂与x轴的交点B（-2，0），设P点坐标为（t，-t+1），分类讨论：当t＜-1时，利用S_△ABP=S_△PBC-S_△ABC得$\frac{1}{2}$（1+2）×（-t+1）-3=6，解得t=-5，此时P点坐标为（-5，4）；当t＞1时，利用S_△ABP=S_△PBC+S_△ABC得$\frac{1}{2}$（1+2）×|-t+1|+3=6，解得t=3，此时P点坐标为（3，-2）．

解答 解：把（-1，m）分别代入y₁=ax+1和y₂=-2ax+4得-a+1=m，2a+4=m，解得a=-1，m=-2，则A（-1，-2），
两直线解析式分别为y₁=-x+1，y₂=2x+4，
直线y₁与x轴的交点C（1，0），直线y₂与x轴的交点B（-2，0），
设P点坐标为（t，-t+1），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（1+2）×2=3，
当t＜-1时，S_△ABP=S_△PBC-S_△ABC，即$\frac{1}{2}$（1+2）×（-t+1）-3=6，解得t=-5，此时P点坐标为（-5，4）；
当t＞1时，S_△ABP=S_△PBC+S_△ABC，即$\frac{1}{2}$（1+2）×|-t+1|+3=6，解得t=3，此时P点坐标为（3，-2）；
综上所述，点P的坐标为（-5，4）或（3，-2）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．