【题目】如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
【答案】
(1)证明:连接OD,与AF相交于点G,
∵CE与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOC=∠BOC,
在△CDO和△CBO中,\
,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴CB是⊙O的切线
(2)由(1)可知∠DOA=∠BCO,∠DOC=∠BOC,
∵∠ECB=60°,
∴∠DCO=∠BCO= ∠ECB=30°,
∴∠DOC=∠BOC=60°,
∴∠DOA=60°,
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OD=OF,∵∠GOF=∠ADO,
在△ADG和△FOG中,
,
∴△ADG≌△FOG,
∴S△ADG=S△FOG,
∵AB=6,
∴⊙O的半径r=3,
∴S阴=S扇形ODF= = π.
【解析】(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题.(2)首先证明S阴=S扇形ODF , 然后利用扇形面积公式计算即可.
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【题目】如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.
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【题目】下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A.提取公因式 |
B.平方差公式 |
C.两数和的完全平方公式 |
D.两数差的完全平方公式 |
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________ .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)经过点A(4,﹣5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB,抛物线的顶点为点D.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积;
(3)如果点E在y轴的正半轴上,且∠BEO=∠ABC,求点E的坐标.
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【题目】下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0,
(1)求证:无论m取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形腰长为4,另两边恰好是此方程的根,求此三角形的另外两条边长.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点F,点E在BD上,且 .
(1)试问:∠BAE与∠CAD相等吗?为什么?
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似?并说明理由.
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