Question

5．在平面直角坐标系中，直线y=$-\frac{3}{4}$x+1与x轴交于点A，且与双曲线y=$\frac{k}{x}$的一个交点为B（$-\frac{8}{3}$，m），
（1）求点A的坐标和双曲线y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=$-\frac{3}{4}$x+1的距离为4，求点C的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{3}{4}$x+1中令y=0，解得x的值即可求得A的坐标；
把（-$\frac{8}{3}$，m）代入y=-$\frac{3}{4}$x+1，求得m的值即可求得B的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）设直线y=-$\frac{3}{4}$x+1与y轴的交点是M．则M的坐标是（0，1）．过B作AN⊥BM，并截取AN=4，作NE∥y轴，交AM于点E，利用△ANE∽△OAM，求得NE的长，则把把B上下平移EN个单位长度就是C的坐标．

解答 解：（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+1中令y=0，解得x=$\frac{4}{3}$，
则A的坐标是（$\frac{4}{3}$，0）．
把B（-$\frac{8}{3}$，m）代入y=-$\frac{3}{4}$x+1，得m=2+1=3，
则B的坐标是（-$\frac{8}{3}$，3）．
把（-$\frac{8}{3}$，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-8，
则反比例函数的解析式是y=-$\frac{8}{x}$；
（2）设直线y=-$\frac{3}{4}$x+1与y轴的交点是M．则M的坐标是（0，1）．
过B作AN⊥BM，并截取AN=4，作NE∥y轴，交AM于点E．
在直角△OAM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
∵NE∥OM，
∴∠NEA=∠AMO，
又∵∠AOM=∠EAN，
∴△ANE∽△OAM，
∴$\frac{EN}{AM}$=$\frac{AN}{OA}$，即$\frac{EN}{\frac{5}{3}}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$，
解得：EN=5，即BC=5．
则把B上下平移5个单位长度就是C的坐标，则C的坐标是（-$\frac{8}{3}$，8）或（-$\frac{8}{3}$，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确求得BC的长度是关键．