Question

【题目】如图，在中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB．分别交AC、BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE.

（1）求证：四边形AEPQ为菱形：

（2）当点P在线段EF上的什么位置时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半?请说明理

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）P为EF中点时,S菱形AEPQ=12S四边形EFBQ，理由见解析.

【解析】

（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；

（2）S菱形AEPQ=EPh，S平行四边形EFBQ=EFh，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP=EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ．

(1)证明：∵EF∥AB,PQ∥AC，

∴四边形AEPQ为平行四边形.

∵AB=AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∵∠BAD=∠EPA，

∴∠CAD=∠EPA，

∴EA=EP，

∴四边形AEPQ为菱形.

(2)P为EF中点时,S菱形AEPQ=S四边形EFBQ

∵四边形AEPQ为菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四边形EFBQ为平行四边形.

作EN⊥AB于N，如图所示：

则S菱形AEPQ=EPEN=EFEN=S四边形EFBQ