Question

已知抛物线y=x²-2bx+c（c＞0）与y轴的交点为A，顶点为M（m，n）．
（1）若c=2b-1，点M在x轴上，求c的值．
（2）若直线过点A，且与x轴交点为B，直线和抛物线的另一交点为P，且P为线段AB的中点．当n取得最大值时，求抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）把c=2b-1代入y=x²-2bx+c得：y=x²-2bx+2b-1，
∴M（m，n）的坐标为，
∵M在x轴上，
∴，即b²-2b+1=0，
解得：b=1，
∴c=2b-1=1．

（2）过P作PD⊥x轴，
∵A（0，c），
∴，
∴B（2c，0），
∴，即，
解得：，
∵PD∥AD，
∴，
∵P为AB中点，
∴，
∴OD=c，
∴，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2bx+2b-，
∴===，
∵-1＜0，
∴二次函数开口向下，存在最大值，
∴当b=1时，n的最大值为，
∴，
∴．
分析：（1）将c的值代入抛物线，确定抛物线的顶点坐标，再由点M在x轴上，可得关于b的方程，解出可得出b的值，继而得出c的值；
（2）过P作PD⊥x轴，根据直线解析式确定点B的坐标，联立抛物线与直线解析式求出交点坐标，由P为AB中点，可得，从而得出c的值，用含b的式子表示出抛物线解析式，表示出n的值，利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了二次函数的顶点坐标公式、配方法求二次函数最值，解答本题关键是熟练运用等量代换的运用，难度较大，同学们注意培养自己解答综合题的能力．