Question

【题目】如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为.

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当时，求的值；

（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，当t=时，S有最大值，最大值是．

【解析】分析: （1）根据点E、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）找出当t=0时，点B、N的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况考虑：①当0＜t≤4时（图1），找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值；②当4＜t≤5时，找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值．将①②中的S的最大值进行比较，即可得出结论.

详解:

（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：，

∴抛物线的表达式为y=-x2+2x．

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BNOB=．

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，-t2+2t），点N的坐标为（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，

=-t2+t+，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴当t=4时，S取最大值，最大值为；

②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，-t2+2t），点N的坐标为（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5-t）（-t2+2t+5）+（t-4）[5-（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3-3t2+5t+25）+（-t3+t2+t-），

=-t2+t-，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

∵=＜，

∴当t=时，S有最大值，最大值是．