Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2或3；（3）2或

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到结论；

（3）当∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根据平行线的性质得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根据等腰三角形的性质得到CF＝2；当∠DFE＝∠BED，推出点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，得到AE是∠BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）∵AB＝AC＝6，

∴∠B＝∠C，

∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠BDE＝∠CEF，

∴△DBE∽△ECF；

（2）∵△DBE∽△ECF，

∴，

∵F是线段AC中点，

∴CF＝AC＝3，

∴，

∴BE＝2或3；

（3）∵△DEF与△DBE相似，

∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，

当∠BED＝∠EDF，

∴DF∥BC，

∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴AD＝AF＝4，

∴CF＝2；

当∠DFE＝∠BED，

∵△DBE∽△ECF，

∴∠BED＝∠CFE，

∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，

∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，

过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，

∴EM＝EG＝EN，

∴AE是∠BAC的角平分线，

∴BE＝CE＝，

∵△DBE∽△ECF，

∴，

即＝，

∴CF＝．

综上所述，FC的长为2或．