Question

（1）通过计算，比较下列①～③组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）．
①1²______2¹；
②2³______3²；
③3⁴______4³；
④4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁶；
⑥6⁷＞7⁶；…
（2）由第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是______；
（3）根据上面的归纳猜想得到的一般性的结论，可以得到：2010²⁰¹¹______2011²⁰¹⁰（填“＞”“＜”或“=”）．

Answer 1

解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；

（2）n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案为：（1）＜，＜，＜；（2）n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．
分析：（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；
（2）分n＜3和n≥3两种情况归纳；
（3）根据规律填空即可．
点评：本题考查了有理数的乘方，熟记乘方的意义并准确进行计算是解题的关键，（2）要注意根据n的大小分情况写出规律．