Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是AC边上的一个动点，当点P在AC边上移动时，BP为最小值时，PC的长是$\frac{36}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BP⊥AC时，BP最小；由△ABC的面积的计算方法求出BP的最小值，再由勾股定理求出PC即可．

解答 解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，∠BPC=90°，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BP=$\frac{1}{2}$BC•AD，
即$\frac{1}{2}$×10×BP=$\frac{1}{2}$×12×8，
解得：BP=$\frac{48}{5}$，
∴PC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{36}{5}$；
故答案为：$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BP的最小值是解决问题的关键．