Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下列两题：

①如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，则DE＝　 ．

②如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，且BD＝2，AD＝6，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①DE＝10；②△ABC的面积是15．

【解析】

（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；

（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；

（3）①过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；

②作∠EAB=∠BAD，∠GAC=∠DAC，过B作AE的垂线，垂足是E，过C作AG的垂线，垂足是G，BE和GC相交于点F，BF=6-2=4，设GC=x，则CD=GC=x，FC=6-x，BC=2+x．在直角△BCF中利用勾股定理求得CD的长，则三角形的面积即可求解．

（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE＝CF；

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE＝GF，

∴GE＝DF+GD＝BE+GD；

（3）①过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形．

AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8，

设DF＝x，则AD＝12﹣x，

根据（2）可得：DE＝BE+DF＝4+x，

在直角△ADE中，AE2+AD2＝DE2，则82+（12﹣x）2＝（4+x）2，

解得：x＝6．

则DE＝4+6＝10．

故答案是：10；

②作∠EAB＝∠BAD，∠GAC＝∠DAC，过B作AE的垂线，垂足是E，过C作AG的垂线，垂足是G，BE和GC相交于点F，则四边形AEFG是正方形，且边长＝AD＝6，BE＝BD＝2，

则BF＝6﹣2＝4，设GC＝x，则CD＝GC＝x，FC＝6﹣x，BC＝2+x．

在直角△BCF中，BC2＝BF2+FC2，

则（2+x）2＝42+x2，

解得：x＝3．

则BC＝2+3＝5，

则△ABC的面积是：ADBC＝×6×5＝15．