Question

11．如图，点A是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3在第一象限内的一点；连接OA，以OA为斜边向上作等腰直角三角形OAB，若点A的横坐标为4，则点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 如图，过点A作AK⊥x轴于k，过点B作BN⊥y轴于N，直线NB、KA交于点M，先证明△OBN≌△BAM，再设ON=BM=x，BN=AM=y列出方程组即可解决问题．

解答 解：如图，过点A作AK⊥x轴于k，过点B作BN⊥y轴于N，直线NB、KA交于点M，则四边形OKMN是矩形，


∵点A横坐标为4，点A是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3在第一象限内的一点
∴A点坐标（4，1）
∵∠NBO+∠ABM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NBO=∠BAN，
在△OBN和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ONB=∠BMA=90°}\\{∠OBN=∠BAM}\\{OB=AB}\end{array}\right.$，
∴△OBN≌△BAM，
∴ON=BM，BN=AM，设ON=BM=x，BN=AM=y，
∵MN=OK，ON=MK，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+y=x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴点B坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
故答案为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查一次函数的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．