Question

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D．若CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC=CP，CD=4，求⊙O半径的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）由条件可求得∠P=30°，进一步可求得∠B=30°，在Rt△BCD中，由勾股定理可求得BC，进一步可求得半径．

解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知OA⊥AP，且OA=OC=CP，
∴∠P=30°，∠AOP=60°，
∴∠B=

1

2

∠AOP=30°，
在Rt△BCD中，CD=4，
∴BD=8，由勾股定理可求得BC=4

3

，
∴⊙O半径为2

3

．

点评：本题主要考查切线的性质和判定，已知切点连接圆心和切点是证明切线的常用方法．