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【题目】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.

【答案】
(1)证明:在△ABC中,E、F分别是AB、BC的中点,

故可得:EF= AC,同理FG= BD,GH= AC,HE= BD,

在梯形ABCD中,AB=DC,

故AC=BD,

∴EF=FG=GH=HE,

∴四边形EFGH是菱形.

在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,

则EH∥BD,

同理GH∥AC,

又∵AC⊥BD,

∴EH⊥HG,

∴四边形EFGH是正方形.


(2)解:连接EG.

在梯形ABCD中,

∵E、G分别是AB、DC的中点,

∴EG是梯形的中位线,

∴EG= (AD+BC)=3.

在Rt△EHG中,

∵EH2+GH2=EG2,EH=GH,

∴EH2= ,即四边形EFGH的面积为


【解析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2= ,也即得出了正方形EHGF的面积.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半)的相关知识才是答题的关键.

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③BN﹣AM=2;
④SEMN=
上述结论中正确的个数是(

A.1
B.2
C.3
D.4

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