【题目】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.
【答案】
(1)证明:在△ABC中,E、F分别是AB、BC的中点,
故可得:EF= AC,同理FG= BD,GH= AC,HE= BD,
在梯形ABCD中,AB=DC,
故AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.
在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,
则EH∥BD,
同理GH∥AC,
又∵AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
∴四边形EFGH是正方形.
(2)解:连接EG.
在梯形ABCD中,
∵E、G分别是AB、DC的中点,
∴EG是梯形的中位线,
∴EG= (AD+BC)=3.
在Rt△EHG中,
∵EH2+GH2=EG2,EH=GH,
∴EH2= ,即四边形EFGH的面积为
【解析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2= ,也即得出了正方形EHGF的面积.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4).
(1)当x= 时,求弦PA、PB的长度;
(2)当x为何值时,PDCD的值最大?最大值是多少?
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【题目】四张扑克牌的点数分别是2,3,4,8,将它们洗匀后背面朝上放在桌上.
(1)从中随机抽取一张牌,求这张牌的点数是偶数的概率;
(2)从中随机抽取一张牌,接着再抽取一张,求这两张牌的点数都是偶数的概率.
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【题目】如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角, ①若AB是⊙O的直径,则∠APB=°;②若⊙O的半径是1,AB= ,求∠APB的度数;
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
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【题目】如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′.
(1)求证:四边形OAO′B是菱形;
(2)当点O′落在⊙O上时,求b的值.
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【题目】已知a、b、c、d都是正实数,且 < ,给出下列四个不等式: ① < ;② < ;③ ;④ <
其中不等式正确的是()
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
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【题目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论: ①AM=CN;
②∠AME=∠BNE;
③BN﹣AM=2;
④S△EMN= .
上述结论中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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