Question

阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为

 

．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,矩形的性质,正方形的性质,弦切角定理,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,探究型

分析：（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．
（2）易证：OA=OB=OC=0D=

5

2

，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得

EP

OB

+

FP

OA

=

AP

AB

+

BP

AB

=1，进而求出EP+FP=

5

2

．
（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．

解答：解：（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=2

2

．
∴OA=

2

．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=

2

．

（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5．
∴OA=OB=OC=OD=

5

2

．
∵PE∥OB，PF∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴

EP

OB

=

AP

AB

，

FP

OA

=

BP

AB

．
∴

EP

OB

+

FP

OA

=

AP

AB

+

BP

AB

=1．
∴

EP

5 2

+

FP

5 2

=1．
∴EP+FP=

5

2

．
∴PE+PF的值为

5

2

．

（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=30°，
∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴

PE

BC

=

AP

AB

，

PF

AD

=

PB

AB

．
∴

PE

BC

+

PF

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1．
∴

PE

4

+

PF

4

=1．
∴PE+PF=4．
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．

点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．