Question

19．按要求解下列一元二次方程：
（1）2x²-3x-5=0（公式法）；
（2）2x²+2x-1=0（配方法）；
（3）已知a，b是一元二次方程x²+10x+2=0两根，求$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$的值；
（4）求方程3x²-4x+k=0两实数根之积的最大值．

Answer 1

分析 （1）确定a，b，c的值，计算判别式，利用求根公式求出方程的根；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并后，开方即可求出解；
（3）根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，然后将$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$化简成两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算；
（4）先根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，再根据根与系数的关系，先表示出x₁•x₂，再根据一次函数的性质求解．

解答 解：（1）2x²-3x-5=0，
∵a=2，b=-3，c=-5，
∴△=9+40=49，
∴x=$\frac{3±\sqrt{49}}{2×2}$=$\frac{3±7}{4}$，
∴x₁=$\frac{5}{2}$，x₂=-1；

（2）2x²+2x-1=0；
方程变形得：x²+x=$\frac{1}{2}$，
配方得：x²+x+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，即（x+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
开方得：x+$\frac{1}{2}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）∵a，b是关于x的一元二次方程x²+10x+2=0的两实数根，
∴a+b=-10，ab=2；
∴$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$+$\frac{\sqrt{ab}}{a}$=$\frac{（a+b）\sqrt{ab}}{ab}$=$\frac{-10\sqrt{2}}{2}$=-5$\sqrt{2}$；

（4）∵方程3x²-4x+k=0有实数根，
∴△=b²-4ac=16-12k≥0，
解得k≤$\frac{4}{3}$；
设x₁，x₂为方程的两实数根，则x₁•x₂=$\frac{k}{3}$，
∵$\frac{1}{3}$＞0，
∴x₁•x₂随k的增大而增大．
∵k≤$\frac{4}{3}$，
∴当k取最大值$\frac{4}{3}$时，x₁•x₂有最大值，
此时x₁•x₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了利用公式法与配方法求一元二次方程的根，根的情况与判别式△的关系，根与系数的关系及一次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
一元二次方程根与系数的关系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
一次函数y=kx+b的性质：（1）k＞0，y随x的增大而增大；（2）k＜0，y随x的增大而减小．