Question

17．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得∠DEA=90°，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；
操作：现将△ADE绕A点逆时针旋转得到△AFG（点D、点E分别与点F、点G对应），连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG之间的数量关系；
（1）如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图4，在△ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化？请直接写出结论，不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）先作出辅助线，再判断△BOC≌△FOD，最后用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半即可；
（2）先作出辅助线，再判断△BOC≌△FOD，最后用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半即可；
（3）先作出辅助线，进而判断△BOC≌△FOD，再判断出∠CAG=∠BMG，进而得出△GAC∽△GFD判断出∠CGD=90°，最后用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半即可．

解答 解：（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立
理由：如图2，

延长GF，CO相较于点D，
∵∠ACB=∠FGA=90°，
∴GD∥BC，
∴∠BCO=∠D，
∵点O是线段BD的中点，
∴OB=OF，
在△BOC和△FOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠D}\\{∠BOC=∠FOD}\\{OB=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△FOD，
∴OC=OD，
在Rt△CDG中，OG=$\frac{1}{2}$CD=OC，
（2）当点G在线段CA上时，线段OC=OG是成立，
理由：如图3，

延长GF，CO相较于点D，
∵∠ACB=∠FGA=90°，
∴GD∥BC，
∴∠BCO=∠D，
∵点O是线段BD的中点，
∴OB=OF，
在△BOC和△FOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠D}\\{∠BOC=∠FOD}\\{OB=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△FOD，
∴OC=OD，
在Rt△CDG中，OG=$\frac{1}{2}$CD=OC，
（3）在△ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系不发生了变化，
理由：如图4，

连接CG，延长GF交BC于M，过点F作FD∥BC，连接DG，
∴∠BCO=∠FDO，
∵点O是线段BD的中点，
∴OB=OF，
在△BOC和△FOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠D}\\{∠BOC=∠FOD}\\{OB=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△FOD，
∴OC=OD，BC=DF
由题意知，△AFG∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BC}$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{DF}$，
∵∠ACB=∠AGF=90°，
∴点A，C，M，G四点共圆，
∴∠CAG=∠BMG，
∵FD∥BC，
∴∠GFD=∠BMG，
∴∠CAG=∠GFD，
∵$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{DF}$，
∴△GAC∽△GFD，
∴∠AGC=∠FGD，
∴∠CGD=∠ACF=90°，
∵OC=OD，
∴OG=$\frac{1}{2}$CD=OC．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出△BOC≌△FOD，难点是（3）中判断出∠CGD=90°．