Question

7．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，AC交BD于点E，CE=4，CD=6．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件和圆周角定理得到∠BAC=∠CAD=∠CDE，由于∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质对应边成比例可求得AC，进一步可求得AE．

解答 解：∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠CAD=∠CDE，
∵∠ACD=∠DCE，
∴△CDE∽△CAD，

（2）∵△CDE∽△CAD，∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CA}$，即$\frac{4}{6}=\frac{6}{AC}$，
解得CA=9，
∴AE=AC-CE=9-4=5．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证明△CDE∽△CAD从而利用对应边成比例求得AC的长是解题的关键．