Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，且其纵坐标为8，点B为x轴正半轴上一点，且tan∠ABO=2，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点A，交AB于点C，且AC=3BC．
（1）求k的值；
（2）过点O作OD∥AB交双曲线y=-$\frac{k}{x}$（x＜0）于点D，求△AOD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用锐角三角函数关系得出BM=1，则CM=2，NM=3，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得A点坐标，进而得出答案；
（2）首先求出直线AB的解析式进而得出DO的解析式，进而得出D点坐标，再利用S_△AOD=S_梯形DENA-S_△DEO-S_△AON求出即可．

解答 解：（1）如图1，过点A作AN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，
∵点A在第一象限，且其纵坐标为8，
∴AN=8，
∵tan∠ABO=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{CM}{BM}$=2，
∴BN=4，
∵AC=3BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{MC}{AN}$=$\frac{1}{4}$，
∴BM=1，则CM=2，NM=3，
设A（x，8），则C（3+x，2），
故8x=2（x+3），
解得：x=1，
则A（1，8），
故k=1×8=8；

（2）过点D作DE⊥x轴于点E，
由（1）得A（1，8），C（4，2），设AC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=8}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
故AC的解析式为：y=-2x+10，
∵OD∥AB，
∴DO的解析式为：y=-2x，
∵过点O作OD∥AB交双曲线y=-$\frac{k}{x}$（x＜0）于点D，
∴双曲线y=-$\frac{k}{x}$=-$\frac{8}{x}$，
则-2x=-$\frac{8}{x}$，
解得：x₁=2（不合题意舍去），x₂=-2，
则x=-2时，y=4，即D点坐标为：（-2，4），
则S_△AOD=S_梯形DENA-S_△DEO-S_△AON=$\frac{1}{2}$（DE+AN）×EN-4-4=$\frac{1}{2}$×（4+8）×3-8=10．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及梯形面积、三角形面积求法以及待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用已知得出C点坐标是解题关键．