【题目】如图,点B(a,b)在第一象限,过B作BA⊥y轴于A,过B作BC⊥x轴于C,且实数a、b满足(a-b-2)2+|2a+b-10|≤0,含45角的Rt△DEF的一条直角边DF与x轴重合,DE⊥x轴于D,点F与坐标原点重合,DE=DF=3.△DEF从某时刻开始沿着坐标轴以1个单位长度每秒的速度匀速运动,运动时间为t秒.
(1)求点B的坐标;
(2)若△DEF沿着y轴负方向运动,连接AE,EG平分∠AEF,EH平分∠AED,当EG∥DF时,求∠HEF的度数;
(3)若△DEF沿着x轴正方向运动,在运动过程中,记△AEF与长方形OABC重叠部分的面积为S,当0<t≤4,S=时,请你求出运动时间t.
【答案】(1)B(4,2);(2)∠HEF==22.5°;(3)t=1或4s.
【解析】
(1)利用非负数的性质即可解决问题;
(2)当EG∥DF时,只要证明∠AWED=135°,即可解决问题;
(3)分两种情形①如图2中,当0<t<2时,重叠部分是△APF,S=(2-t)t=t-t2,②如图3中,当2<t≤4时,重叠部分是△PAF,S=(t-2)2=t-2,分别构建方程即可解决问题;
解:(1)∵(a-b-2)2+|2a+b-10|≤0,
又∵(a-b-2)2≥0,|2a+b-10|≥0,
∴,
解得,
∴B(4,2).
(2)如图1中,设EG交y轴于N.
当EG∥DF时,∠NEF=∠EFD=45°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEN=45°,
∵DE∥FN,EN∥DF,
∴四边形DENF是平行四边形,
∵∠EDF=90°,DE=DF,
∴四边形DENF是正方形,
∴∠DEN=90°,
∴∠AED=135°,
∵EH平分∠AED,
∴∠DEH=×135°=67.5°,
∵∠DEF=45°,
∴∠HEF=∠DEH-∠DEF=22.5°.
(3)①如图2中,当0<t<2时,重叠部分是△APF,S=(2-t)t=t-t2,
由题意:t-t2=t,
解得t=1,.
②如图3中,当2<t≤4时,重叠部分是△PAF,S=(t-2)2=t-2,
由题意:t-2=t,解得t=4,
综上所述,当t=1或4s时,满足条件,S=t.
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【题目】已知抛物线y=x2+bx﹣3(b是常数)经过点A(﹣1,0).
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'.
① 当点P' 落在该抛物线上时,求m的值;
② 当点P' 落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值.
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【题目】下列说法正确的是
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近
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【题目】某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元?
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,且A型号车不少于2辆,购车费不少于130万元,则有哪几种购车方案?
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【题目】如图1,两个全等的△ABC和△DEF中,∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE,其中点B和点D重合,点F在BC上,将△DEF沿射线BC平移,设平移的距离为x,平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y,y关于x的函数图象如图2所示(其中0≤x≤m,m<x≤3,3<x≤4时,函数的解析式不同)
(1)填空:BC的长为_____;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在CD的延长线上,EP=EG,
(1)求证:直线EP为⊙O的切线;
(2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BFBO.试证明BG=PG;
(3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为3,sinB=.求弦CD的长.
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【题目】某校初二数学兴趣小组活动时,碰到这样一道题:
“已知正方形,点分别在边上,若,则”.
经过思考,大家给出了以下两个方案:
(甲)过点作交于点,过点作交于点;
(乙)过点作交于点,作交的延长线于点;同学们顺利地解决了该题后,大家琢磨着想改变问题的条件,作更多的探索.
(1)对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1);
图1 图2
(2)如果把条件中的“”改为“与的夹角为”,并假设正方形的边长为l,的长为(如图2),试求的长度.
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