Question

17．四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且AP∥BD．求证：PD•BC=AB•AD．

Answer 1

分析 要证PD•BC=AB•AD，需证△APD∽△CAB；由AP‖BD，可得∠P=∠BDC=∠BAC；由于∠ADP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠ADP=∠ABC，从而判定三角形相似．

解答 证明：如图，连接AC，
∵AP∥BD，
∴∠P=∠BDC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠P=∠BAC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADP=∠ABC，
∴△APD∽△CAB，
∴$\frac{AD}{CB}$=$\frac{PD}{AB}$，
∴PD•BC=AB•AD．

点评 此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质的综合应用，解题时注意：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．