Question

6．在等边三角形ABC中，点E在AB上，连接EC，点D在直线BC上，连接ED，使ED=EC，如图1，当点E为AB的中点时，易证：AC=BD+BE．
（1）如图2，当点E在边AB的延长线上时，线段AC，BD，BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明；
（2）如图3，当点E在边BA的延长线上时，线段AC，BD，BE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

Answer 1

分析 （1）结论：BD-BE=AC．如图2中，作EM∥AC交CD于M．首先证明△BME是等边三角形，再证明△EDM≌△ECB，推出DM=BC，由此即可解决问题．
（2）如图3中，结论：BE-BD=AC．首先证明△BME是等边三角形，再证明△EDM≌△ECB，推出DM=BC，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：BD-BE=AC．
证明：如图2中，作EM∥AC交CD于M．

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∴∠BEM=∠A=60°，∠BME=∠ACB=60°，
∴△BME是等边三角形，
∴∠DME=∠CBE=120°，BM=EB，
∵ED=EC，
∴∠EDM=∠ECB，
在△EDM和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠EBC}\\{∠EDM=∠ECB}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△ECB，
∴DM=BC，
∴BD-BM=DM，
∴BD-BE=AC．

（2）如图3中，结论：BE-BD=AC．

理由：作EM∥AC交BD的延长线于M．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∴∠BEM=∠A=60°，∠BME=∠ACB=60°，
∴△BME是等边三角形，
∴∠DME=∠CBE=60°，BM=EB，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠EDM=∠ECB，
在△EDM和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠EBC}\\{∠EDM=∠ECB}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△ECB，
∴DM=BC，
∴BE-BD=BM-BD=DM=BC=AC，
∴BE-BD=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．