Question

如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．

Answer 1

（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；

（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，
∴AN=2MN=2，
∴AM==，
∴S_△AMN=AM•MN=××1=．
∵四边形ADCN是平行四边形，
∴S_{四边形ADCN}=4S_△AMN=2．
分析：（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；
（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=，则S_{四边形ADCN}=4S_△AMN=2．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．