Question

【题目】杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数；

（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；

（2）求纯收益g关于x的解析式；

（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）g=﹣x2+32 x﹣150；（3）6个月后能收回投资．

【解析】

试题分析：（1）根据题意确定x，y的两组对应值求y的函数关系式；

（2）根据纯收益g=开放后每月可创收33万元×月数x﹣游乐场投资150万元﹣从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；

（3）求函数最大值，及g＞0时，x的值，可确定回收投资的月份．

解：（1）由题意得：x=1时y=2；

x=2时，y=2+4=6代入得：

解之得：

∴y=x2+x；

（2）由题意得：

g=33x﹣150﹣（x2+x）

=﹣x2+32 x﹣150；

（3）g=﹣x2+32 x﹣150=﹣（x﹣16）2+106，

∴当x=16时，g最大值=106，

即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，

又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；

当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，

∴6个月后能收回投资．