Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，DA=DB，点E是BC的中点，DE与AB相交于点G．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）如果∠FCB=∠FBC=∠DAB，设DF与BC交于点H，求证：DH=FH．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）欲证明DE⊥AB，只需推知AE=BE即可；
（2）欲证明DH=FH，需要证得四边形BDEF是平行四边形．

解答：证明：（1）如图，连接AE．
∵∠BAC=90°，BE=EC，
∴AE=BE=

1

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BC．
又∵DA=DB，
∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB；

（2）∵∠DBC=90°
∴∠DBA+∠ABC=90°
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠FBC=∠DAB
∴∠FBC+∠ABC=90°
∵∠AGE=90°
∴BF∥DE．
又∵∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC
∵BE=EC，∴FE⊥BC
∴∠DBE=∠BEF=90°
∴DB∥EF，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DH=FH．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．