Question

如图，直线l：y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=

k

x

的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求AN•BM的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，进而C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）连接AC，BC，
对于一次函数y=x+2，令x=0，求得：y=2；令y=0，求得：x=-2，
∴OA=OB=2，
∵点C与原点O关于直线1对称
∴CA=OA=CB=OB=2，
∴四边形AOBC为菱形，
∵∠AOB=90°
∴四边形AOBC为正方形，C（-2，2），
将C（-2，2）代入y=

k

x

得：2=

k

-2

，
即k=-4，
则反比例函数解析式为y=-

4

x

；

（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，
设P（a，-

4

a

），
可得ND=-

4

a

，ME=|a|=-a，
∵△AND和△BME为等腰直角三角形，
∴AN=

2

×（-

4

a

）=-

4 2

a

，BM=（-

2

a）
∴AN•BM=-

4 2

a

•（-

2

a）=8．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．