Question

如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

3

2

，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．
（1）若过原点的抛物线y=ax²+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；
（2）若点P在该抛物线上移动，当点p在第一象限内时，过点p作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似，直接写出点P的坐标；
（3）若点M（-4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线想做或享有平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求得B，E的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）点P的坐标可设为（x，

3

8

x²）．因为∠BEC=∠OQP=90°，所以以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似时，Q与E一定对应，然后分两种情况进行讨论：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可；
（3）左右平移时，使M'D+CB'最短即可，那么作出点M′关于x轴对称点的坐标为M″，得到直线B″M″的解析式，令y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．

解答：解：（1）依题意得：B（2，

3

2

）．
∵OC=2，CE=

3

2

，
∴E（-2，

3

2

）．
∵抛物线经过原点和点B、E，
∴设抛物线的解析式为y=ax²（a≠0）．
∵抛物线经过点B（2，

3

2

），
∴

3

2

=4a．
解得：a=

3

8

．
∴抛物线的解析式为y=

3

8

x²；

（2）∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（x，

3

8

x²）．
分两种情况：
（i）当△OQP∽△BEC时，则

PQ

CE

=

OQ

BE

，
即

3 8 x2

3 2

=

x

4

，
解得：x=1，
∴点P的坐标为（1，

3

8

）；
（ii）当△PQO∽△BEC时，则

PQ

BE

=

OQ

EC

，
即

3 8 x2

4

=

x

3 2

，
解得：x=

64

9

，
∴点P的坐标为（

64

9

，

512

27

）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P（1，

3

8

）或P （

64

9

，

512

27

）；

（3）存在．
因为线段M′B′和CD的长是定值，所以要使四边形M′B′CD的周长最短，只要使M′D+CB′最短．
如果将抛物线向右平移，显然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短，显然应该将抛物线 y=

3

8

x²向左平移．
由题知M（-4，6）．
设抛物线向左平移了n个单位，则点M′和B′的坐标分别为M′（-4-n，6）和B′（2-n，

3

2

）．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（-n，

3

2

）． 
要使M′D+CB′最短，只要使M′D+DB″最短．
点M′关于x轴对称点的坐标为M″（-4-n，-6）．
设直线M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），点D应在直线M″B″上，
∴直线M″B″的解析式为y=

6

n

x+

24

n

将B″（-n，

3

2

）代入，求得n=

16

5

．
故将抛物线向左平移

16

5

个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为y=

3

8

（x+

16

5

）²．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，矩形、平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．