Question

14．如图，正方形MNBC内有一点A，以AB，AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连结RM，BP．求证：BP∥RM．

Answer 1

分析 连接PM，RN，根据正方形的性质证明△ABC≌△PMC（SAS），得到PM=AB，所以PM=BR，再证明△BCP≌△MNR （SAS），得到BP=MR，所以得到平行四边形BPMR，所以BP∥RM．

解答 证明：如图，连接PM，RN，

∵正方形MNBC、正方形ABRT、正方形ACPM，
∴MN=MC=BC，AB=BR，AC=PC，∠BCM=∠ABR=∠BNM=∠ACP=90°
∵∠ACB=∠BCM-∠ACM，∠PCM=∠ACP-∠ACM，
∴∠ACB=∠PCM，
在△ABC和△PMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BM}\\{∠ACB=∠PCM}\\{AC=PC}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△PMC（SAS），
∴PM=AB，
∴PM=BR，
同理可得：RN=AC，∠BNR=∠ACB，
∴RN=PC，∠BNR=∠PCM，
∵∠BCP=∠BCM+∠PCM，∠MNR=∠BNM+∠BNR
∴∠BCP=∠MNR，
在△BCP和△MNR中，
$\left\{\begin{array}{l}{RN=PC}\\{∠BCP=∠MNR}\\{MN=BC}\end{array}\right.$
∴△BCP≌△MNR （SAS）
∴BP=MR
∴四边形BPMR为平行四边形，
∴BP∥RM

点评 本题考查考查了全等三角形的性质与判定定理，正方形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是证明四边形BPMR为平行四边形．